青山学院大学
2014年 理工A方式 第3問
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![下図のように,点Oを中心とし,半径が1で中心角が2/3πの扇形OABがある.θを0<θ<π/3を満たす角として,弧AB上に,∠AOP=θ,∠BOQ=θを満たす点P,Qをとる.また,点Pから線分OAに垂線を下ろし,線分OAとの交点をRとする.点Qから線分OBに垂線を下ろし,線分OBとの交点をSとする.このとき,以下の問に答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)三角形OPRの面積をθを用いて表せ.(2)三角形OPQの面積をθを用いて表せ.(3)θが0<θ<π/3の範囲を動くとき,五角形ORPQSの面積の最大値を求めよ.](./thumb/189/2275/2014_3.png)
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下図のように,点$\mathrm{O}$を中心とし,半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある.$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として,弧$\mathrm{AB}$上に,$\angle \mathrm{AOP}=\theta$,$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.また,点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし,線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし,線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする.このとき,以下の問に答えよ.
\imgc{189_2275_2014_1}
(1) 三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき,五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ.
(1) 三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき,五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ.
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