福島大学
2010年 理工 第1問
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以下の問いに答えなさい．
(1) 自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2) 関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする． \[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \] このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3) 整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．
(1) 自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2) 関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする． \[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \] このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3) 整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．
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