$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1) 関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3) $t$の値の範囲を求めなさい．
(4) $C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5) $S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．