正の整数$n$を \[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \] のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．
いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．
(1) $P(4)$を求めなさい．
(2) $n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3) 最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4) 最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5) $P(20)$を求めなさい．