福島大学
2015年 理工 第4問
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三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を共通の比$m:n$に内分する点を，それぞれ，$\mathrm{R}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．
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