直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}$，$\angle \mathrm{B}=\theta$，$\mathrm{BC}=a$である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}_1$を下ろし，点$\mathrm{P}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$を下ろす．同様に，点$\mathrm{Q}_1$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$を下ろし，点$\mathrm{P}_2$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$を下ろす．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$をそれぞれ定める．また，$\mathrm{AP}_1$と$\mathrm{CQ}_1$の交点を$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$の交点を$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$と$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_3$の交点を$\mathrm{R}_3$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $\mathrm{AP}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ．
(3) $\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ．
(4) $\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ．