次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．
(ⅰ) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(ⅲ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．
(2) 当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．
(ⅰ) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ⅱ) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(ⅲ) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．