山形大学
2013年 理学部(数理) 第1問
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座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$があり,位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする.$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$,$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく.$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき,次の問に答えよ.
(1) $|\overrightarrow{a}|$,$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$,$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ.
(4) 点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり,点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき,$\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ.
(1) $|\overrightarrow{a}|$,$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$,$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ.
(4) 点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり,点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき,$\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ.
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