宮城教育大学
2010年 教育学部(中等数学) 第3問
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座標平面上に点$\mathrm{B}_n(b_n,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{C}_n \left( \frac{b_n+b_{n+1}}{2},\ \frac{1}{2^{n-1}} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある.ただし,$b_n \leqq b_{n+1}$である.$2$点$\mathrm{B}_n$,$\mathrm{B}_{n+1}$間の距離を$\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$で表すとき,$\displaystyle \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{B}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$が成立している.$b_1=0,\ b_2=1$のとき,次の問いに答えよ.
(1) $d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき,$d_n$を$n$を用いて表せ.
(2) $b_n$を$n$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ.
(4) $\log_{10}2=0.3010$として,$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ.
(1) $d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき,$d_n$を$n$を用いて表せ.
(2) $b_n$を$n$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ.
(4) $\log_{10}2=0.3010$として,$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ.
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