金沢大学
2013年 理系 第4問
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![行列A=(\begin{array}{cc}7/2&1/2\1/2&7/2\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})に対して,次の問いに答えよ.(1)実数x,y,u,vが,xA+yE=uA+vEを満たすならば,x=u,y=vであることを示せ.(2)A=a_1A+b_1E,A^2=a_2A+b_2Eとなる実数a_1,b_1,a_2,b_2を求めよ.(3)n=1,2,3,・・・に対して,A^n=a_nA+b_nEとなる実数a_n,b_nをnを用いて表せ.(4)n=1,2,3,・・・に対して,実数c_n,d_nがA+A^2+A^3+・・・+A^n=c_nA+d_nEを満たしているとき,極限\lim_{n→∞}\frac{c_n}{d_n}を求めよ.](./thumb/355/1277/2013_4.png)
4
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{7}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{7}{2}
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して,次の問いに答えよ.
(1) 実数$x,\ y,\ u,\ v$が,$xA+yE=uA+vE$を満たすならば,$x=u,\ y=v$であることを示せ.
(2) $A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ.
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,実数$c_n,\ d_n$が \[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \] を満たしているとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ.
(1) 実数$x,\ y,\ u,\ v$が,$xA+yE=uA+vE$を満たすならば,$x=u,\ y=v$であることを示せ.
(2) $A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ.
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,実数$c_n,\ d_n$が \[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \] を満たしているとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ.
類題(関連度順)
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