座標平面上に，中心が原点$\mathrm{O}$，半径が$1$の円と原点を通り，傾きが正の直線$\ell$がある．点$\mathrm{A}^\prime(p,\ q)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0)$は$\ell$に関して対称であり，点$\mathrm{B}^\prime(p^\prime,\ q^\prime)$と点$\mathrm{B}(0,\ 1)$は$\ell$に関して対称である．$\ell$に関して対称な$1$次変換の表す行列$T$は， \[ T=\left( \begin{array}{cc} p & p^\prime \\ q & q^\prime \end{array} \right) \] と表せる．下図を参考にして，$p>p^\prime$の場合について，以下の問に答えなさい．なお，$\mathrm{P}=\mathrm{P}(p,\ 0)$，$\mathrm{P}^\prime=\mathrm{P}^\prime(p^\prime,\ 0)$である．
(1) $\theta=\angle \mathrm{AA}^\prime \mathrm{P}$とおく．$\angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OP}=2\theta$，$\angle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{P}^\prime=2\theta$となることを示しなさい．
(2) $q^\prime=-p,\ p^\prime=q$となることを示しなさい．
(3) $T^2=E$（ただし，$E$は単位行列）となることを示しなさい． \imgc{683_3132_2014_2}