関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$のグラフを考える．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$x$軸上にあり，その$x$座標はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ 1$である．また，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．これらの点に対して，点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{M}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{N}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$はグラフ上にあり，その$x$座標は$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$のそれと同一である．また，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}^\prime \mathrm{A}$上に，点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$上にあり，$\mathrm{PQ}$は点$\mathrm{M}^\prime$で$\displaystyle y=\frac{1}{x}$と接する．点$\mathrm{R}$は$\mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$上に，点$\mathrm{S}$は$\mathrm{C}^\prime \mathrm{C}$上にあり，$\mathrm{RS}$は点$\mathrm{N}^\prime$で$\displaystyle y=\frac{1}{x}$と接している．以下の問に答えなさい．
(1) 台形$\mathrm{AA}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$の面積，台形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{C}$の面積をそれぞれ求めなさい．
(2) 台形$\mathrm{APQB}$の面積，台形$\mathrm{BRSC}$の面積をそれぞれ求めなさい．
(3) 定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{1}{x} \, dx$と$(1)$の$2$つの台形の面積の和，および$(2)$の$2$つの台形の面積の和を比較することにより，次の不等式を証明しなさい． \[ \frac{16}{15}<\log 3<\frac{7}{6} \] \imgc{683_3132_2014_1}