山口大学
2016年 理(数理科学)・医 第4問
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点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して,点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする.$b_2>0$,$c_3>0$,また,$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき,以下の問いに答えなさい.ただし,次の等式$\maruichi$を証明なしに用いてもよい.
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \hfill \cdots\cdots \ \ \maruichi \]
(1) 等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい.
(2) $\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい.
(3) 点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すとき,$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする.$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい.
(1) 等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい.
(2) $\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい.
(3) 点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すとき,$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする.$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい.
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