岡山大学
2016年 理系 第4問
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座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2) $s$を$u,\ v$を用いて表せ.
(3) $\ell$は$xy$平面内の直線で,原点$\mathrm{O}$を通らないものとする.直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
(1) ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2) $s$を$u,\ v$を用いて表せ.
(3) $\ell$は$xy$平面内の直線で,原点$\mathrm{O}$を通らないものとする.直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
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