山口大学
2014年 理(数理科学)・医 第3問
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![四面体ABCDにおいて,AB=AC=AD=1,BC=√3,∠BDC=θのとき,次の問いに答えなさい.ただし,π/3<θ<π/2とする.(1)点Aから△BCDを含む平面に垂線を下ろし,その平面との交点をHとする.線分AH,BH,CH,DHの長さを,それぞれθを用いて表しなさい.(2)t=cosθとする.θを一定の値に保ったまま点Dが動くときの四面体ABCDの体積の最大値を,tを用いて表しなさい.(3)(2)で求めた四面体ABCDの体積の最大値をV(t)とする.π/3<θ<π/2の範囲でθが動くときのV(t)の最大値を求めなさい.ただし,V(t)が最大値をとるときのθの値は求めなくてよい.](./thumb/650/2783/2014_3.png)
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四面体$\mathrm{ABCD}$において,
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき,次の問いに答えなさい.ただし,$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(1) 点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし,その平面との交点を$\mathrm{H}$とする.線分$\mathrm{AH}$,$\mathrm{BH}$,$\mathrm{CH}$,$\mathrm{DH}$の長さを,それぞれ$\theta$を用いて表しなさい.
(2) $t=\cos \theta$とする.$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を,$t$を用いて表しなさい.
(3) $(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする.$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい.ただし,$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい.
(1) 点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし,その平面との交点を$\mathrm{H}$とする.線分$\mathrm{AH}$,$\mathrm{BH}$,$\mathrm{CH}$,$\mathrm{DH}$の長さを,それぞれ$\theta$を用いて表しなさい.
(2) $t=\cos \theta$とする.$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を,$t$を用いて表しなさい.
(3) $(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする.$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい.ただし,$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい.
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コメント(1件)
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