公立はこだて未来大学
2014年 文系 第1問
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次式で与えられる$2$つの放物線$C_1,\ C_2$について,以下の問いに答えよ.
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし,$a$は$0$でない定数とする.
(1) $C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように,定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ.さらに,そのときの共有点の座標をすべて求めよ.
(2) $a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき,第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とする.また,$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$,$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.このとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(1) $C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように,定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ.さらに,そのときの共有点の座標をすべて求めよ.
(2) $a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき,第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とする.また,$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$,$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.このとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
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