群馬大学
2015年 理工学部 第5問

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すべての実数xにおいて,関数f(x)は微分可能で,その導関数f´(x)は連続とする.f(x),f´(x)が等式∫_0^x\sqrt{1+(f´(t))^2}dt=-e^{-x}+f(x)を満たすとき,以下の問いに答えよ.(1)f(0)を求めよ.(2)f´(0)を求めよ.(3)f(x)を求めよ.(4)∫_0^1x\sqrt{1+(f´(x))^2}dxを求めよ.
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すべての実数$x$において,関数$f(x)$は微分可能で,その導関数$f^\prime(x)$は連続とする.$f(x)$,$f^\prime(x)$が等式 \[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \] を満たすとき,以下の問いに答えよ.
(1) $f(0)$を求めよ.
(2) $f^\prime(0)$を求めよ.
(3) $f(x)$を求めよ.
(4) $\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ.
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詳細情報

大学(出題年) 群馬大学(2015)
文理 理系
大問 5
単元 積分法(数学III)
タグ 実数関数微分可能導関数連続等式定積分根号e^}
難易度 3

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