$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$をみたす実数とし，座標空間内に点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ \sqrt{3-t^2})$をとる．$\mathrm{P}$を通り$yz$平面に平行な平面を$\beta$とおく．3点$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{F}(-\sqrt{3},\ 0,\ 0)$に対し，$\beta$と直線$\mathrm{FD}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\beta$と直線$\mathrm{FE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$S(\sqrt{3})=0$とする．
(1) $S(t)$を$t$を用いて表せ．
(2) $t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(3) $t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．