福井大学
2011年 医学部 第4問
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関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
$\tokeiichi$ \ \ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ．
(1) $f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2) $f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．
$\tokeiichi$ \ \ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ．
(1) $f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2) $f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．
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