$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$， \\ $\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\ なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり， \\ 各頂点は$3$つの正五角形に共有されている． \img{366_2546_2011_1}{36}
(1) $1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて， \\ 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらにその長さを求めよ．