Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$，B$(1,\ 1)$，C$(0,\ c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，線分AB，BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP，Qとする．ただし，例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときはA，$t=1$のときはBとする．$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) $t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2) $\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3) $0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．