福井大学
2010年 医学部 第4問
4
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$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1) 等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2) $AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式 \[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \] が成り立つことを示せ．
(3) $p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
(1) 等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2) $AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式 \[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \] が成り立つことを示せ．
(3) $p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
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