表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1) $n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2) $k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3) (1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ． \[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]