空間内に4点O，A，B，Cがあり，$\text{OA}=\text{OB}=\sqrt{5},\ \text{OC}=1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4,\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3) 4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．