原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) 双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3) $S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4) $k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．