複素数$z$は，以下に述べる規則$\tokeiichi,\ \tokeini$にしたがって，$1$秒ごとに値が変化していくものとする．ただし，$i$を虚数単位として，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}$とおき，$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$について，時刻$n$秒での$z$の値を$z_n$とおく．
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(ⅰ) $z_0=1$とする．
(ⅱ) $z$の値は，時刻$n+1$秒において，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する．
$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$，$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) $z_{2m}=-1$となる確率を求めよ．
(2) $q_m$を，$p_m$を用いて表せ．
(3) $p_m$を求めよ．
(4) $z_n=1$となる確率を求めよ．