原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし，直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．
(1) 双曲線$C$の方程式を求めよ．
(2) 点$\mathrm{P}$を通り，$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする．$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．
(3) $k=2$のとき，$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．