福井大学
2013年 工学部 第4問
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数列$\{r_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ r_1=0,\quad r_{n+1}=\frac{r_n+2}{2r_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle r_{n+1}-\alpha=\beta \frac{r_n-\alpha}{2r_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$をすべて求めよ．
(2) $\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}=k \frac{r_n-p}{r_n-q} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$p,\ q,\ k$の組$(p,\ q,\ k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p \neq q$とする．
(3) 数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n$を求めよ．
(1) $\displaystyle r_{n+1}-\alpha=\beta \frac{r_n-\alpha}{2r_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$をすべて求めよ．
(2) $\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}=k \frac{r_n-p}{r_n-q} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$p,\ q,\ k$の組$(p,\ q,\ k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p \neq q$とする．
(3) 数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n$を求めよ．
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