福井大学
2013年 工学部 第2問
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$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$をみたす四面体$\mathrm{OABC}$がある．その体積を$V$，$\mathrm{AB}=m$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3) $V$を$m$を用いて表せ．
(4) $V$が最大となる$m$の値を求めよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3) $V$を$m$を用いて表せ．
(4) $V$が最大となる$m$の値を求めよ．
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