四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2) 三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．