藤田保健衛生大学
2012年 医学部 第3問
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![次の問いに答えよ．(1)連立1次方程式{\begin{array}{l}5x-y=kx\6x-2y=ky\end{array}.が(x,y)=(0,0)以外の解をもつようなkをk_1,k_2（ただしk_1＜k_2）とおくと，k_1=[7]，k_2=[8]である．(2)(1)で求めたk_1に対して(x,y)=(1,a)，k_2に対して(x,y)=(b,1)が各々上の連立1次方程式を満たすとき，行列AとPをA=(\begin{array}{cc}5&-1\6&-2\end{array}),P=(\begin{array}{cc}1&b\a&1\end{array})とおくとP^{-1}AP=[9]となる．これより自然数nに対してA^n=[10]である．(3)自然数nに対して漸化式{\begin{array}{l}a_{n+1}=5a_n-b_n\b_{n+1}=6a_n-2b_n\end{array}.,a_1=1,b_1=2を満たす数列{a_n},{b_n}の一般項を求めると，a_n=[11]，b_n=[12]である．](./thumb/455/2242/2012_3.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 連立$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x-y=kx \\ 6x-2y=ky \end{array} \right. \] が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$（ただし$k_1<k_2$）とおくと，$k_1=\fbox{$7$}$，$k_2=\fbox{$8$}$である．
(2) $(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$，$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき，行列$A$と$P$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & -2 \end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ a & 1 \end{array} \right) \] とおくと$P^{-1}AP=\fbox{$9$}$となる．これより自然数$n$に対して$A^n=\fbox{$10$}$である．
(3) 自然数$n$に対して漸化式 \[ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=5a_n-b_n \\ b_{n+1}=6a_n-2b_n \end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \] を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\fbox{$11$}$，$b_n=\fbox{$12$}$である．
(1) 連立$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x-y=kx \\ 6x-2y=ky \end{array} \right. \] が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$（ただし$k_1<k_2$）とおくと，$k_1=\fbox{$7$}$，$k_2=\fbox{$8$}$である．
(2) $(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$，$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき，行列$A$と$P$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & -2 \end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ a & 1 \end{array} \right) \] とおくと$P^{-1}AP=\fbox{$9$}$となる．これより自然数$n$に対して$A^n=\fbox{$10$}$である．
(3) 自然数$n$に対して漸化式 \[ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=5a_n-b_n \\ b_{n+1}=6a_n-2b_n \end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \] を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\fbox{$11$}$，$b_n=\fbox{$12$}$である．
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