首都大学東京
2010年 都市教養(理系) 第3問
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同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき,実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい.
(2) $4$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし,次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする.その辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とし,四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする.ただし,四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする.このとき,$x,\ y,\ z$の値を求めなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき,実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい.
(2) $4$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし,次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする.その辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とし,四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする.ただし,四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする.このとき,$x,\ y,\ z$の値を求めなさい.
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