$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を \begin{align} A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\ B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber \end{align} で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である． [(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．

(1) $2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ⅱ) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(ⅲ) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．