愛媛大学
2010年 医学部 第5問
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次の問いに答えよ．
(1) 次の連立不等式を解け． \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x^2-4x-15<0 \\ x^2-2x \geqq 0 \end{array} \right. \]
(2) $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3) 方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4) 原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5) 等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．
(1) 次の連立不等式を解け． \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x^2-4x-15<0 \\ x^2-2x \geqq 0 \end{array} \right. \]
(2) $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3) 方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4) 原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5) 等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．
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