$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる． [($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1) 時刻$t=1$とする．
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2) $p_1$を求めよ．
(3) $d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4) $p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．