行列$\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\ a & b \end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$\maruichi,\ \maruni$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$\maruichi$ \ \ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$\maruni$ \ \ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である

(1) $a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3) 点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．