愛媛大学
2011年 医学部 第2問
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単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1) $A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2) 自然数$n$に対して，関係式 \[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \] をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4) 実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき \[ xE+yA=(E-A)^{-1} \] であることを示せ．
(1) $A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2) 自然数$n$に対して，関係式 \[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \] をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4) 実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき \[ xE+yA=(E-A)^{-1} \] であることを示せ．
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