愛媛大学
2011年 農・工（環境建設）・教育・総合人間 第4問
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四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
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