電気通信大学
2013年 理系 第4問
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座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を,それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし,$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を,$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる. \\
ただし,$s>0$,$t>0$とする.さらに,正三角形$\mathrm{ABC}$を,頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める.このとき,以下の問いに答えよ.
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(1) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し,点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ.
(2) 点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ.
(3) 点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を,直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする.このとき,$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ.
(4) 線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ.
(5) 点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき,点$\mathrm{D}$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
(1) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し,点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ.
(2) 点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ.
(3) 点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を,直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする.このとき,$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ.
(4) 線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ.
(5) 点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき,点$\mathrm{D}$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
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