$r$を$r>1$である定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$は，原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする．点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は，$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，$p>0$であるとする．また点$\mathrm{Q}$に対して，点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える．このとき次の問いに答えよ．
(1) $p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3) $2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4) $r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．