同志社大学
2016年 文化情報・生命医科・スポーツ 第2問
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$n$を正整数とし，$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) \ \ (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ． \[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2) 次の定積分の値をそれぞれ求めよ． \[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3) 次の極限値をそれぞれ求めよ． \[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]
(1) $a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) \ \ (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ． \[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2) 次の定積分の値をそれぞれ求めよ． \[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3) 次の極限値をそれぞれ求めよ． \[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]
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