同志社大学
2015年 理系全学部日程 第4問
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![（選択）i=\sqrt{-1}とし，\overline{z}はzの共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．\mon[(1)]複素数z=2+iに対して，複素数z_1=(1+√3i)\overline{z}の値を求めよ．\mon[(2)]実数kと複素数z=1+ti（tは実数）に対して，次の等式が成立するk,tの組をすべて求めよ．(1+√3i)\overline{z}=kz\mon[(3)]複素数w_1に対し，複素数w_2,w_3をw_2=(1+√3i)\overline{w_1},w_3=(1+√3i)\overline{w_2}によって定める．w_3をw_1を用いて表せ．\mon[(4)]上の(1)で求めたz_1に対して，複素数z_n(n=2,3,・・・)をz_{n+1}=(1+√3i)\overline{z_n}(n=1,2,3,・・・)によって定める．z_{2m-1}(m=1,2,3,・・・)をmを用いて表せ．](./thumb/496/2931/2015_4.png)
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（選択）$i=\sqrt{-1}$とし，$\overline{z}$は$z$の共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．
[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ． [$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ． \[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \] [$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を \[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \] によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ． [$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n \ \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$を \[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．$z_{2m-1} \ \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．
[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ． [$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ． \[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \] [$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を \[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \] によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ． [$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n \ \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$を \[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．$z_{2m-1} \ \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．
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