同志社大学
2014年 理工学部 第2問
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座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ \ \ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4) $a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4) $a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
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コメント（2件）
2015-07-13 17:18:16
作りました。(1)～(3)までは自然な流れの誘導です。(4)は座標空間において格子点（座標がすべて整数の点）のみを頂点にもつような正四面体は存在するか？という疑問から作られた問題なのかもしれません。ちなみに座標平面において有理点（座標がともに有理数の点）のみを頂点にもつ正三角形は存在しません（1999年 大阪大学）。 |
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2015-07-12 21:54:38
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