$p,\ q$を実数とする$t$に関する$2$次方程式$t^2+pt+q=0$の解が虚数になるとき，次の問いに答えよ．
(1) 解の$1$つを$\alpha$とするとき，$\alpha (2-\alpha)$が実数でありかつ$\alpha (2-\alpha)<2$となるための$p,\ q$の条件を求めよ．
(2) 虚部が負の解を$\beta$とする．$(1)$の条件のもとで$\beta (1-\beta)$の実部を$y$，虚部を$x$として，座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求めよ．
(3) $(2)$で求めた軌跡上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と定点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$との距離が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標と距離$\mathrm{PQ}$を求めよ．