次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(ⅰ) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ⅱ) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=\fbox{}$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=\fbox{}$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=\fbox{}$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=\fbox{}$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=\fbox{}$となる．