同志社大学
2013年 理工学部 第4問
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$xy$平面において，曲線$C:y=\log x$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\mathrm{B}(a+h,\ \log (a+h))$ \ \ $(h \neq 0)$をとる．点$\mathrm{A}$における$C$の法線と点$\mathrm{B}$における$C$の法線の交点を$\mathrm{D}(\alpha,\ \beta)$とする．次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2) $\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4) 点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(1) 点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2) $\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4) 点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
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