次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ．
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc} \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \beta & -\cos \beta \end{array} \right) \ \ (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$\fbox{}$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$\fbox{}$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=\fbox{}$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$\fbox{}$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$\fbox{}$となる．
(2) 関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=\fbox{}$，$b=\fbox{}$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<\fbox{}$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=\fbox{}$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$\fbox{}$となる．