九州工業大学
2011年 工学部 第2問
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![実数θに対して,行列AをA=(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})とする.また,nを自然数とし,Aのn乗をA^nで表す.次に答えよ.(1)数学的帰納法により,すべての自然数nに対してA^n=(\begin{array}{cc}cosnθ&-sinnθ\sinnθ&cosnθ\end{array})が成立することを示せ.(2)θ=π/12とする.ある自然数nに対しては,行列A^nによって曲線y=-1/2x上の点が常に曲線x^2-y^2=-1上の点に移される.このような自然数nの最小値を求めよ.](./thumb/678/3144/2011_2.png)
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実数$\theta$に対して,行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とする.また,$n$を自然数とし,$A$の$n$乗を$A^n$で表す.次に答えよ.
(1) 数学的帰納法により,すべての自然数$n$に対して \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array} \right) \] が成立することを示せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$とする.ある自然数$n$に対しては,行列$A^n$によって曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{2x}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される.このような自然数$n$の最小値を求めよ.
(1) 数学的帰納法により,すべての自然数$n$に対して \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array} \right) \] が成立することを示せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$とする.ある自然数$n$に対しては,行列$A^n$によって曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{2x}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される.このような自然数$n$の最小値を求めよ.
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