次の問いに答えなさい．
(1) 定数$a$を正の実数とする．関数 \[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \] の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと \[ f(\theta)=\fbox{ア}t^2+4at+a^2-\fbox{イ} \] である．
$M=a^2+\fbox{ウ} \sqrt{\fbox{エ}}a+\fbox{オ}$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{\fbox{ク}}-\sqrt{\fbox{ケ}}$である．
(2) 定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると \[ d=\frac{\fbox{コサ}m}{\sqrt{m^2+\fbox{シスセ}}} \] である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$\fbox{ソ}$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=\fbox{タチツ}$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=\fbox{テト}$，$d=\fbox{ナニ}$である．