関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう． \imgc{101_2273_2014_1}
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは \[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{\fbox{ア}}} \] であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は \[ t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \] である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと \[ s=\sqrt{\fbox{エ}} \left( t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \right) \] である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{オ}} \pi}{\fbox{カ}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{ケ}} \pi^2}{\fbox{コサ}}-\frac{\fbox{シ} \sqrt{\fbox{ス}} \pi}{\fbox{セソ}}$
である．